RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
200508 << 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >> 200510
スポンサーサイト (--/--/--(--) --:--:--)
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
スピン (2005/09/24(土) 19:31:39)
スピンの意味

「本の上部に直接糊付けされた、ひものしおり」をスピンと呼ぶそうです。
スナック菓子もあるそうです。

うわー、イメージが豊かになった(嬉)!
スポンサーサイト
アペンデクス (2005/09/24(土) 16:23:42)

ついでだから、構成するn+1個のn-1次元単体のn-1次元体積が全て等しいようなn次元単体の作り方を書いておこう。体積に着目するとこれはすごく難しいが、n+1個の法線ベクトルのうちn個をとってそれらを基底した時の計量行列に着目すると手続き的になる。

Aはnxn対象行列で、対角成分は全て1,対角成分を除いた上三角部分(あるいは下三角部分)の成分の和は(1-n)/2であるとする(あるいは、全ての成分の和は1であるとする)。そしてさらに、Aは正定値行列であるとする。

#この最後の条件だけは、作ってみて確かめる以外に有効な満たさせ方を知らない。何かうまい方法がないのならばAを用意する上でこの部分だけ試行錯誤が必要だ。

このようなAを用意した時、(sqrt(A))^{-1}に現れるn個のn次横数ベクトルの表す座標と原点(0,0,0,0)が構成するn次元単体は条件を満たす。また、全ての条件を満たすn次元単体は、このようにして得られるn次元単体のいずれかと相似だ。

ついでに言うと、対角成分以外に対する制約が次元が上がっても増えないから、計量行列の自由度は次元が上がるとどんどん増えていってしまう。だから、このようにして全く勝手に条件を満たすn次元単体を作ってみた場合、ほとんどの場合それを構成するn+1個のn-1次元単体は全く合同ではないはずだ。

一つ前の記事の例では、Aとして
を採用した。

テトラヘドロン (2005/09/24(土) 04:29:18)
四面体の問題
三次元で重心と内心と外心が一致するって事を示して、その後で面の合同を言うって証明を作ったんだけど、その際、さらに高次元では、外心に内心との一致を促すような条件としては、n+1個のn-1次元単体のn-1次元体積が等しいというのでは弱すぎると容易に予想ができた。そこでそこまでの考察で、外心が内心と一致しないようなケースの具体的な構成の仕方も既に見えていて、特殊で扱いやすいケースを一つ作ってみたところ、確かに反例になっていた。

というわけで、四次元の反例。
一つの辺の長さだけsqrt(2)で、他の辺の長さは全て1の4次元単体

上で書いたように発見的にこの反例に至ったわけじゃないんだけど(特に、これが命題が満たされない特殊な例外だというのではなく、実際には、ほとんどの場合命題は満たされないはずだ)、この例自体は反例だという事が直ちに納得できる綺麗なケースだと思うので興味がある人は確かめてみて欲しい。

octaveで数値計算させた後、頑張ってシンボリックな表記に直した各点の座標の例も書いておこう。単に反例を一つ得るという事だけを目標にごりごり数値的に計算しただけだったのだが、結果は結構綺麗だ。適当に回転させればもっと綺麗になるだろう。(これは一つの辺だけが長さ2で他は長さsqrt(2)である例)

(0,0,0,0)
(sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))
(1/sqrt(3),1/sqrt(3)+2/3,1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)-1/3)
(1/sqrt(3),1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)+2/3,1/sqrt(3)-1/3)
(1/sqrt(3),1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)+2/3)
ファントムオブジオペラ (2005/09/24(土) 02:11:40)
ちょっと前にふとアーティスティック志向になってオペラ座の怪人の映画をDVDで見たんだけど、予想外に凄く良かった。というか、オペラ座の怪人が格好良すぎ。ラウルがいまいち気に入らなかったので、クリスティーヌはとっとと怪人になびけ~、とずっと思っていた(だから、ストーリーを知らなかったので、ラストはちょっと意外でがっくり。あれって、クリスティーヌが怪人を受け入れてくれなかったら、化けの皮が剥がれました、終り、っていう全く救いの無いストーリーにならないか?)。とにかく華やかで豪勢な世界が舞台だから、大仰な演出が一々うまくはまる。特に、今より過去の風景を古いフィルム風に描いて、それよりもさらに昔に遡ると逆に色彩が戻るという冒頭の演出は、臨場感に大いに貢献していて素晴らしい。後、これはちょっと物質的な注目のしかただろうけど、シャンデリアの落下シーンは、静止している時には判らないディテールが突然自己主張をし始めて、あー、シャンデリアが落ちるとこうなるのかー、と新鮮だった。そりゃあ、シャンデリアが落下するところなんて滅多に見ないからなあ。
(C)Copyright 2003-2007 by Ruke All rights reserved. Powered By FC2. VALID HTML? VALID CSS?
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。