RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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コンジュゲイシィ (2006/02/06(月) 23:38:55)
ようやくI_hの共役類の元の列挙が完了した。以下でiは0から4までの値をとる。
1:{e}
12C_5:{p1,p1^i p2 p1^(-i), p1^(-1), p1^i p2^(-1) p1^(-i)}
12C_5^2=12C_5 12C_5:{p1^2,p1^i p2^2 p1^(-i), p1^(-2), p1^i p2^(-2) p1^(-i)}
20C_3:{p1^i p1 p2 p1^(-i), p1^i p2^(-1) p1^(-1) p1^(-i), p1^i p2^(-1) p1 p2^2 p1^(-i), p1^i p2^(-2) p1^(-1) p2^1 p1^(-i)}
15C_2:{p1^i p2 p1 p2 p1^(-i), p1^i p1 p2^2 p1^(-i), p1^i p2^(-1) p1 p2^3 p1^(-i)}

i:{s p1 p2^(-1) p1 p2^3 p1^(-1)}
12S_10=i12C_5
12S_10^3=i12C_5^2
20S_6=i20C_3
15σ=i15C2

さてとりあえず指標を計算して(なんかほとんど0だな。頂点を切り落としたために頂点を通る回転軸がほとんどないために対角成分が全然ないというわけのようだ)縮態度がちゃんと得られるかを確かめよう。
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リファレンス (2006/02/06(月) 21:49:44)
忘れないうちに今までのところの参考文献
http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGroup.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_symmetry
http://www2.ueda.ne.jp/~narita/images/samples/ih/ih.html
http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/frib/html2/fullerene/full11_4.html
テケーサン1 (2006/02/06(月) 21:10:36)
フラーレンのヒュッケル近似を手計算しようプロジェクト途中経過その一。

再び番号付けは自己流の
expansion.png

これを使う。

Ihの共役類はまず、Iの共役類として

1:単位元のみの類
12C_5:五角形面の中心と重心を通る軸周りの72度回転(注:反対側の五角形面の中心と重心を通る軸周りの72度回転は元の面での-72度回転を与えるので-72度回転を明示的に含める必要はない。以下同じ)
12C_5^2:12C_5を二回続けて作用させる144度回転。
20C_3:正六角形面の中心と重心を通る軸周りの120度回転。
15C_2:正六角形が隣接する辺の中点と重心を通る軸周りの180度回転。

そしてこれらに続けて反転を行うi,12S_10,12S_10^3,20S_6,15σ。

ここまでは調べればわかるしすぐに確かめる事もできる。問題は射影演算子を作るには群の表現行列を具体的に求める必要がある事。ただし射影演算子は
P_a=d_a/|G|Σ_g x^*_a(g) D(g)
と、既約表現の指標を乗じて和をとるので、指標は類の上で一定だから、表現行列は全ては必要なわけではなく、類の上で和をとった結果のみ分かればよい。そこでさすがにこの操作は数式処理ソフトに任せる事として、各共役類の元を全て明示的に、ただし抽象的に列挙したい。そのために、以下の生成元のみ具体的に書き下しておく。

p1=(56 57 58 59 60)(42 45 48 51 54)(41 44 47 50 53)(43 46 49 52 55)(22 26 30 34 38)(23 27 31 35 39)(21 25 29 33 37)(24 28 32 36 40)(7 10 13 16 19)(8 11 14 17 20)(6 9 12 15 18)(1 2 3 4 5)
p2=(30 31 49 48 47)(29 32 50 58 46)(13 33 51 57 27)(14 34 59 45 28)(11 15 35 60 44)(12 16 52 56 26)(3 17 53 42 25)(4 36 54 43 10)(2 18 38 41 24)(5 37 55 23 9)(1 19 39 22 8)(6 20 40 21 7)
s=(58)(57 59)(56 60)(48)(47 49)(46 50)(45 51)(44 52)(43 53)(42 54)(41 55)(30 31)(29 32)(28 33)(27 34)(26 35)(25 36)(24 37)(23 38)(22 39)(21 40)(13 14)(12 15)(11 16)(10 17)(9 18)(8 19)(7 20)(6)(3 4)(2 5)(1)

p1は1-2-3-4-5面の中心と重心を通る軸での72度回転、p2は21-7-6-20-40面の中心と重心を通る軸での72度回転(どちらも画像中でクロックワイズ)。sは1-6-48-58を通る面での鏡映。

これらを用いてまず
12C_5={p1,p2,p1p2p1^(-1), p1^2p2p1^(-2),p1^3p2p1^(-3),p1^4p2p1^(-4),p1^(-1),p2^(-1),p1p2^(-1)p1^(-1), p1^2p2^(-1)p1^(-2),p1^3p2^(-1)p1^(-3),p1^4p2^(-1)p1^(-4)}
である。ただしここで、p1の冪やp2の冪、またそれらの積は、あくまで空間中での回転変換の合成であって、置換や巡回としての合成ではない。
フレーレン (2006/02/06(月) 16:56:39)
点群による構造の対称性の話が詳しく載っていないかと珍しく生協書籍部の化け学の棚なんかに行ってみたのだが、意外と言及が少ない。数学的な事は知ったこっちゃないが指標表さえあれば何だってわかるぜい、という実用的なあれこれについては化け学の人達はかなり早い段階から習得させられる物だと思っていたのだが。

で、それはともかく、ある量子化け学の本では、(groupの) elementを「元素」と呼んでいました。

#ちなみに個人的には「元」って表記はあまりよくないと思う。だって「元」じゃ意味不明じゃん。「要素」が一番しっくりくる。
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