RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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ハミルトン、ヤコビ (2006/03/07(火) 21:04:03)
あと、カルタンの原理の章で面白かったのは、ハミルトン・ヤコビの母関数Wの存在の正当化がカルタンの原理からできるという話だ。カルタンの原理は、Ω=pdq-Edtの閉曲線での一周積分が、経路管を一周する任意の閉曲線について一定であるという物だ。(これは大雑把に言って、実現する運動経路についての作用積分の変分が相空間でも位相空間でもδJ=∫dΩとなるためで、従ってこの原理は相空間、位相空間のいずれでも成り立つ。)

そこで座標の初期条件q(0)を固定する。この時任意の時刻とそこでの座標qの組(t,q)を指定すると、それが乗っている運動の経路が(局所的には)決まり(変分原理は正にその決まり方を与える)、そこでの速度ξにせよ運動量pにせよ全て決まってしまう。つまり、速度も運動量も(q,t)の関数としてξ(q,t), p(q,t)と書かれる。今自由な変数はq,tのみであり、q,tを適当に動かして閉曲線を指定する。そこでのΩ=p(q,t)dq-E(q,ξ(q,t),t)dt(Eの項はH(q,p(q,t),t)でも良い)の積分は必ず0である。というのも、この閉曲線の各点について時間を遡って(あるいは進めて)t=0まで行けば、それらの座標q(0)および時刻t=0は全て一致し、Ω=pdq-Edtの積分は明らかに0であるからである。

この事は1形式Ωの一周積分が常に0となる事から、(q(0)でパラメタ付けされた)ある関数W(q,t)があって、dW=Ωが成り立つ。q,tは自由であるから、W_q=p, E+W_t=0が得られる。上の段落までの説明がいささか長いがこれはカルタンの原理の下でほとんど自明の事項であり、ハミルトン・ヤコビの方法で基本的な重要性を持つ、運動経路を限定するN個のパラメタを陰に想定する(ただしそれはハミルトン・ヤコビの方程式に陽には現われず、従ってそれは積分定数であって高い自由度を持つというのが技術的なメリットであると思うのだが、一方でその点を教科書ではきちんと書いていなくてやけに苦労した記憶がある)そのようなパラメタとして、ある時刻における座標をとるという非常に簡単なケースについて具体的にWの存在がポアソンの補題から直ちに言えるというわけだ。
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イチフォーム (2006/03/07(火) 19:53:33)
ここ数日で最大の収穫は、1-形式というのは、単に(同次)1次式という意味以外の何でもないという事が理解できた事だ。今まで微分形式が導入されてなお、曖昧に微小量をイメージする感覚が抜けきれていなかった。なるほど、微小量もその比ならば有限だというのが微分の基本的発想だとするならば、逆に、どうせ比だけが効いてくる計算しかしない以上、もはや小さくある必要はないという考え方があり得るわけだ。dq/dtを変換性が同じであるというのみならず「接空間の元である」という言い方を何度も見てやっとそういうことが得心できた。つまりdx, dyは座標であり変数であって、100万でも1億でも好きな数字を代入できる。

そうやって微小量というアイデアを露わには完全に理論から消去して、単なる実数座標を持つ空間の間の写像のみによって微小量の扱いを可能にするというのが、微分形式の基本的なアイデアのようだ。あったま良いなあ。
カルタン (2006/03/07(火) 08:03:21)
カルタンの原理の章、短いわりに時間がかかってしまった。原理そのものの書き換えに形式以上の何かを見出そうとした、先人達の必死のあがきが感じられて楽しい。
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