RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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ニャルホド (2006/03/19(日) 17:25:35)
ああ、カルタンの原理って、思想的な背景(初期条件から伸びる解曲線ではなく領域、集団の時間発展に目を向ける)を持った力学原理の等価な書き換えという側面とともに、変分原理を微分形式に親和性が高いように書き換えるっていう、純粋に技術的な側面があるのか。つまり、端点を固定しない一般の変分に対して、運動の経路上で
δJ=∫dΘ=[Θ], Θ=pδq-Eδt
が成り立つ。
あるいはパラメタである時刻を陽に書いて
δJ=∫dΘ/dt dt=Θ(t2)-Θ(t1), Θ(t)=p(q(t),dq(t)/dt)δq(t)-E(q(t),dq(t)/dt)δt(t)

だけど、このΘは微分形式の言葉では飽くまで0-形式であって1-形式ではない。もちろん、対応する1-形式Ωを定義する事は直ちに可能だ。それは基本1-形式と呼ばれている。問題は、δJの積分に出てくるdΘ、あるいはdΘ/dtの分子は、2-形式dΩに対応しない事だ。

外微分dが大雑把に言って差分をとる演算であるという捉え方は0-形式に対する外微分の場合にしか正しくない。否、それは確かに一般のn-形式に対して正しいのであるが、それはまさに、Stokesの定理の意味のみにおいて正しいのであって、外微分dが二地点における差分を意味するのは0-形式に対してだけだ。従って、「運動の経路に沿ってδJ=∫dΘ=[Θ]」を微分形式の言葉で書いて微小量という概念を表立たせないようにしたければ、さらに端点を経路管に沿ってぐるりと一周させて、dΘが面積領域にかけて足し上げられるようにする必要がある。このときδJの足し上げは0であるからすなわち、
0=∫∫dΘ=∫Θ-∫Θ
ここで逐次積分を面積積分と対応させた時に初めてそれは2-形式dΩの積分に対応する。経路管に沿ったΩの一周積分が、選んだ経路管にのみ依存する、これがカルタンの原理だ。
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