RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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ビブンケーシキ (2006/07/07(金) 22:54:55)
ベクトルの成分と逆の変換をうける数の組を用意してそれらの内積a^ib_iが座標に依らない事を示すなんていうのは一瞬トートロジーに見えてしまうし、そもそもどっからどう考えても、座標に依らない量よりも座標に依る量の方が一般的だ。だから座標に依る量に関する理論の方がより豊かな理論を可能にすると考えるのは自然な事だ。座標変換に依らない量は重要であると本に書いてあるから、あるいは美しさ・綺麗さというような曖昧な理解でそれを受け入れるというのは正しい事ではない。

座標によらない量が重要なのは座標が人為的に設定されるものだからだ。だから、座標に依存した定義を行った上で座標に依らない事を証明するというのは少なくともベクトルのようなプリミティブな量を準備する上では本末転倒だ。解くべき演習問題が少なくなるために不安になろうとも、望ましいのはどっからどう考えても座標に依らない定義だ。

この点で、出発点として相応しいのはスカラー関数fに作用する場合の外微分演算子dだ。というのも、微分(ナイーブには差分)はあからさまに座標に依らないからだ。任意の点で、その点の適当な近傍で定義されたスカラー関数fを指定してやれば、dfによって1-形式を得る事ができる。また、任意の点で、その点を通るパラメタ付けされた曲線を指定してやればd/dtによってベクトル場を得る事ができる。

d自体は、各点において、その点の適当な近傍で定義されたスカラー関数fとその点を通るパラメタ付けされた曲線の両方を指定されると、微分値を出力する。1-形式dfはその点を通るパラメタ付けされた曲線を指定されると、ベクトル場d/dtはその点の適当な近傍で定義されたスカラー関数fを指定されると微分値を出力する。1-形式はベクトル場を変数にとってスカラ値を出力する関数で、ベクトル場は1-形式を変数にとってスカラ値を出力する関数だ。またdは1-形式とベクトル場を一つずつとってスカラ値を出力する関数だ(dを(1,1)テンソルと見るってのはあまり一般的じゃないかもしれないけれど、d=dx^i∂/∂x^iの記法はちゃんとこの記法に整合する)。つまり、dを出発点に選んだ時点で、内積の定義が自動的に済んでいる。dは内積の定義そのものだ。

数学の本ではベクトル空間が与えられた時その双対空間を線形関数の全体として定義したりして一見抽象的な議論に見えるのだが、むしろこのような記述は具体性において優っているのだ。そこでは、0-form、あるいはスカラ関数のみが``物理的''であるという見方すら可能だ(ただし``物理的''という言葉は非常にしばしば逃げ口上に使われるからこのような見方は最大限割り引いて考える事だろう)。
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