RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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タイム (2005/08/24(水) 03:14:51)
そうか、物理量としての時刻tは十分に有り得るな。
時空の構造から、exp(-iPx)のような空間並進対称性、exp(-iJθ)のような回転対称性、そしてexp(-iHt)のような時間並進対称性をヒルベルト空間が備えている事が要請される。ここに出てくるxは単なるパラメタで、物理量としてのXとは直接的な関係はない。量子力学で時刻tがidψ/dt=Hψと、時間発展を記述するパラメタとして入るというのは、それと同じ話で、という事はつまり、物理量としての時刻Tを導入する事は全然構わない。

よく、時刻とエネルギーの不確定性関係δtδH~hというのは、XとPの同時固有状態は無い、という話とは意味が違う、と言われる。だけど、そもそもこの両辺をhでわってやると、δtδw~2π(あるいは1)となる。位置と運動量もδxδk~2π(あるいは1)。つまりこれらは、式単独ではそもそも次元解析以上の意味を持たない。いわゆる時刻とエネルギーの不確定性関係が位置と運動量の不確定性関係と意味する所が異なるから気をつけろ、というのは当然の話だけど、それはつまりこれらの式は考えている状況、文脈、現象毎に意味付けを見出さなければいけないという程度の話で特に神経質に考える必要は無い。そうすると、exp(-iPx)X=(X-x)exp(-iPx)から位置と運動量の交換関係が決まったように、H,TはP,Xと同じ交換関係を満たすはずだ。

ってこれって単に、時計の針を読むってだけの話だよなあ。何かおもしろくできないかな?
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コメント
この記事へのコメント
2005/08/24(水) 19:16:54 |bluesy-k|URL | #-[ 編集]
はじめまして、bluesy-kと申します。

>exp(-iPx)X=(X-x)exp(-iPx)から位置と運動量の交換関係が決まったように
順序が逆のような気もするのですが。交換関係がまず要請で、exp(-i\hat{p}x)が並進変換であるというのはpとxの交換関係から出てくるのではないでしょうか。(参考:杉田勝美 他「経路積分と量子電磁力学」pp11-13)
2005/08/24(水) 22:41:11 |Ruke|URL | #-[ 編集]
えーと、量子電磁気学まで学ばれているようなので、量子力学や対称性に関する基本的な齟齬はなく、対称性から出てくる運動量演算子と、例えば粒子に関する運動量演算子をはっきりと区別していない事に由来する混乱だと思いますが、一応全体をスケッチしてみます。

系が表現される具体的なヒルベルト空間や系が具体的に備えている物理量等についての詳細を議論する事なく、系が備えている対称性だけから、そのヒルベルト空間の構造をある程度議論する事ができます。``ある程度''といっても、これは本質的に重要な議論です。

具体的には、対称性変換はもちろん群をなすわけですが、さらにある連続的なパラメタで特徴付けられ、恒等変換とある連続的なパラメタの経路で結ばれる場合、そのパラメタによってT(a)T(b)=T(f(a,b))のごとく合成規則を表す事ができます。

すると、これに対応してヒルベルト空間上でのユニタリ変換
U(a)U(b)=U(f(a,b))
が必ず存在する事になります(実際には対称性変換は状態ベクトルではなく射線に作用する事に由来する微妙な問題が生じますがここでは無視します)。

さらに、Uはそれ自身群をなしますから、単位元のある近傍が得られれば、それらの合成を繰り返する事で全ての元を得る事ができます。具体的には、Uをパラメタでテイラー展開した時、その一次の項は自己共役演算子となります。そして二次以降の項は一次の項に現れた演算子および合成規則f(a,b)のa,bに関する二次以降の展開係数から完全に決定されるのですが、この決定が矛盾なく行われる事の条件として、一次の項に現れた自己共役演算子の間の交換関係が再びそれらの間の、f(a,b)の二次の係数と関連する係数を持つ線形結合であることが要請されます。

具体的には、並進変換の場合x'=x+aなる並進変換をT(a)とすれば、これは合成規則T(a)T(b)=T(a+b)を満たします。
これから
U(T(a))=I-iaP+...
となり(符号は、以下で説明するような慣例的な運動量と一致させるためです)、微小な並進変換に対応するユニタリ変換U(T(δa))=1-iδaPを繰り返す事で、並進変換に対応するユニタリ演算子が、必ずexp(-iaP)の形をしている事がわかります。

ここでは、対称性から見出される自己共役演算子がPしかないので交換関係は自明なものしかありませんが、実際には、複数の対称性を同時に扱う事で、それらの非可換性の対応として高官関係が現れます。具体的には、時間に関する並進対称性からハミルトニアンHが、回転対称性から角運動量Jがあらわれ、それらの間の交換関係はそれらが表す対称性変換が合成される様子(群としての構造)から完全に決定されます。

一方、粒子の位置Xのような物理量は、こうした対称性だけからは議論できない、系に固有の性質です。実際明らかに、我々は場の位置を測定したりする事はありません。

しかしながら、古典的な粒子の位置xに対応した、量子論的な物理量Xおよびそれに対応する演算子Xがあるとすれば、それはU(T(a))XU(T(-a))=X-aという変換を受けると推測する事ができます。この一次の展開係数を比べる事で、交換関係[X,P]=iが導かれます。

これが、対称性のみから要請される一般的な性質をまず明らかにし、その後系の詳細について踏み込んでいく、という議論の大まかなスケッチです。

しかし、この方法には明らかな注意事項があって、Xは大まかには我々が位置を測定していると考えている測定操作によって測定されると考えて良いのに対し、Pがどのような測定操作によって測定される物理量であるかはまだ何もわからず、(それを勝手に運動量と呼ぶのは自由であるにせよ)我々の知っている運動量であると同定するにはもう数ステップ必要であるという事です。

ただし一つ重要な事は、こうした対称性変換と関連付けられる物理量は、我々が既に良く知っている量や測定操作と大まかに結び付けられると十分期待できるということです。というのも、ある状態ベクトルが例えばPのある固有空間に属しているとすれば、Pの生成する並進対称性変換によって、この状態ベクトルは同じ固有空間に属し続けるからです。そして一般に我々は物事や現象を、対称性変換によって変化しない特質によって分類します。

逆に、初めから標準的な正準交換関係に従って議論を行なった場合(これがbluesy-kさんが想定した議論だと思いますが)X, Pは、初めから大まかに特定の測定操作へと結び付ける事ができます。これは確かに大きな利点ですが、考察の対象とする系が変更された瞬間に議論が初めからやり直しになってしまうという問題があります。いずれにしても、少なくともこの記事では、時刻を表す演算子Tを仮に想定してその性質を考えているので、交換関係を先に要請するのではなく、時間並進の下でその変換性を考える事から始めなければなりません。明らかに「量子力学的な時計」を表す演算子Tは時間並進の下で位置Xの空間並進の下での変換と同様の変換を受けます。つまり、今この時計を読む時に``起こる事''は、a秒たってからこの時計を読んで得られた値からaを引き去った場合に起こる事と一致すると考えられます。

2005/08/25(木) 12:54:34 |Nameless|URL | #-[ 編集]
要約すると

任意のユニタリ変換はあるエルミート演算子Pを用いてexp(-iaP)と表される。(これは有名ですね)

その変換がもし並進変換ならPが表す物理量は並進変換での保存量でなくてはならない。従って運動量であろう。

次に並進変換で位置演算子Xは単純に増やされるであろう。と

しかし、exp(-iaP)のaが並進距離であるというのはどうやって示せるのですか。

また、
>粒子の位置Xのような物理量は、こうした対称性だけからは議論できない
というのはどうでしょう。
すでにexp(-iqX)が運動量を増やす変換であるという事を知っているからいえることですが、ブーストに対する保存量として議論できるのではないでしょうか。
2005/08/25(木) 12:55:05 |bluesy-k|URL | #-[ 編集]
↑名前を書き忘れました
2005/08/25(木) 14:35:45 |bluesy-k|URL | #7fJTB8uc[ 編集]
自分につっこみ。
>しかし、exp(-iaP)のaが並進距離であるというのはどうやって示せるのですか
おっと、定義でしたね。

なら納得できました。

>何かおもしろくできないかな?
妄想ですが、粒子の固有時に結び付けてみるとか。
2005/08/25(木) 16:34:28 |Ruke|URL | #.85f1Vro[ 編集]
多分、まだ勘違いされていると思います。
ここでのお話はx'=x+aに対応するユニタリ変換をU(a)=exp(-iaP)と表示した、というだけの話ではなく(もしそうなら、aが並進距離であるのは確かに定義ですが、その代わりPはaに依存してもおかしくないはずです)、T(a):x->x+aの合成規則T(b)T(a)=T(a+b)から、一連のパラメタ付けされたユニタリ変換U(a)がexp(-iaP)の形に(aの関数として)決定されるという事です。これは、TもUも連続な群であり、微小な元U(T(δa))=1-iδaPを繰り返し合成する事で全ての元が得られるのです。これは、パラメタ付き群の構造を、そのパラメタの合成規則と、単位元の近傍の様子から調べる、リー群とリー環に関する議論の最も簡単な類のものですが、単独では通常ストーンの定理として参照されるようです。

また、少なくとも非相対論的な一粒子系に関しては、ブーストは位置と結びつけられますが、この時に粒子の種類による比例定数Mが現れる事、位置と呼ばれるような量を持たない系でも慣性系を移る変換に対する対称性があればブースト演算子を持つという意味でブーストの方がより一般性の量であること、そして同じ方向への並進変換とブースト変換は可換であるために、対称性の議論から自然に導かれるPはブースト変換まで考慮すると我々の知っている運動量とは異なってしまう(x->x+vの下でp->p+mvではなくp->pと変換する)事に注意する必要があります。

以上の状況の本質的な原因は質量が邪魔であることで、相対論的なローレンツ変換の下では状況はもっと簡単になりますが、この場合、もはやブーストは位置とは同定されず、運動量との交換関係は[K_i,P_j]=iHδ_{ij}で与えられます。
2005/08/25(木) 17:35:59 |bluesy-k|URL | #-[ 編集]
>一段落目
ああ、判りました。

相対論のブーストとコンフュージングだったのですが、僕が上で言っているブーストは速度ではなく運動量を増やす変換です。

>位置と呼ばれるような量を持たない系でも慣性系を移る変換に対する対称性があればブースト演算子を持つという意味でブーストの方がより一般性の量であること
では並進変換はあるが、運動量のない系は?
位置と呼ばれる量がないというのが具体的にどういうシチュエーションですか?

>x->x+vt(tは勝手に追加)の下でp->p+mvではなくp->pと変換する
これ(後者)はxとpを独立と考えている時の位置と運動量の関係だと思いますが。
2005/08/28(日) 01:32:07 |Ruke|URL | #-[ 編集]
>相対論のブーストとコンフュージングだったのですが、僕が上で言っているブーストは速度ではなく運動量を増やす変換です。
>x->x+vt(tは勝手に追加)の下でp->p+mvではなくp->pと変換する
これ(後者)はxとpを独立と考えている時の位置と運動量の関係だと思いますが。

ちょっとどういう事を考えているのかよくわからないのですが、対称変換というのは、全ての射線RおよびR_nについて、状態がRである時に状態がR_nにあると見出される確率を変化させないような変換T:P(R->R_n)=P(R'->R'_n)として特徴付けられるというのはよろしいでしょうか?

このような変換はもちろん勝手にとることはできず実験で決められるべきものです。しかしながら相対論的(あるいはニュートン力学的)時空の持つ対称性が量子論でも厳密に継承されると考える事は自然ですし、実験でも良く確かめられています。

従って、少なくとも時空の備えている対称性を考えるならば、ガリレイ変換ならば
x->x+a+vt
t->t+b
となり、さらに少なくとも粒子系では
p->p+mv
という変換を考える事になります。これらの変換は勝手にとれるものではなく、a,b,vのみのパラメタ(および粒子の質量)で特徴づけられます。位置と運動量が独立に変換するという事はありませんし、多粒子系において、各粒子の運動量を上式との整合性なしに勝手に増やすという事もできません。

普通粒子系で用いられる位置演算子Xと運動量演算子Pに関してexp(-iqX)がブーストを表すから、位置演算子も対称性から見出されるのではないか、との事でしたが、この点から言って、exp(-iqX)は位置を変化させないため、ブースト変換と関連付けられる事はないと思います。実際には、運動量をmV増やす変換は、|p>->|p+mv>した(これは確かにXの指数関数で表す事ができます)後、さらに勝手な位相因子をかけてやる事ができます。ブースト変換はこのうちの一つと関連付けられる事になります。

ただし、僕が並進変換とブースト変換が可換だから、このような変換から見出される生成子P,Kが可換になってしまう、と書いたのは、良く考えたらそんなわけがないと思ったので調べてみたのですが、これは、確か一番初めに軽く触れた、対称性変換を表すユニタリ演算子は対称性変換の合成規則を、射線に対する作用の意味でしか反映しないという問題に関連しているようです。

具体的には、これらユニタリ演算子の積は、一般には合成規則を
U(T(a))U(T(b))=exp(iφ(a,b))U(T(f(a,b)))
の意味で反映する(射影表現)。大抵の場合Uを上手い事作り直す事で
U(T(a))U(T(b))=U(T(f(a,b)))
の形の通常の表現にできるのですが、ガリレイ群の場合、見出された生成子の数を保つ限りは、それができないという事です。

一般に、通常の表現において、Uの原点でのテイラー展開の一次の項として現れる生成子の交換関係は、それら自身の(単位元に比例する項を含まない)一次結合で書かれますが一方射影表現では一般には単位元に比例する項が現れます。つまり、ガリレイ変換を表すパラメタa(並進),b(時間並進),v(ブースト)に対しP,H,Kが見出され、射影表現を最大限解消したとしてそれらの間には
[P,H]=0
[K,H]=iP
[K,P]=iC
という交換関係が成り立つ事になります。ここで、Cというのは、φ(a,b)の任意性を反映して任意の実数です。具体的に1自由粒子系について考えた場合に、Pが我々の知っている運動量(あるいはプランク定数で調節したもの)と同定された後には、Pのブーストの下での変換性からCは質量Mと同定される事になります。

まとめると、
(1)対称性を要請すると、ヒルベルト空間の構造がある程度決まり、ある交換関係を満たす一連の自己共役演算子を備えている事が要請される。ただしこれは容れ物を用意するという事であって何もかもが決まるわけではない。
(2)対称性から見出された生成子を個別の具体的な物理量と関連付けるプロセスは、個別の系に依存する。一般には、これらの演算子の表す物理量の変換性、理論の古典極限との整合性などから決定される(と言っても、このプロセスについては僕はちゃんとチェックした事はないのでよくわかりません)。
(3)系が備えている個別の物理量の対称性変換の下での変換性が既にわかっている場合には、その物理量を表す演算子と対称性変換の生成子との交換関係を計算によって導く事ができる。
(3)もちろんこのようにして得られない多くの知見は実験によって得なければならない。また、上で要請した対称性および、既に分かっているとした物理量の変換性も、もちろん実験によって精密に検証されるべきである。

といった所です。
2005/08/30(火) 21:46:49 |bluesy-k|URL | #-[ 編集]
>位置と運動量が独立に変換するという事はありませんし
ハミルトン形式でもそうなんでしょうか。ハミルトン形式ではハミルトニアンを決めるまではp=mvという関係はアプリオリには存在しないと思うのですが。
2005/08/31(水) 01:11:14 |Ruke|URL | #.85f1Vro[ 編集]
ハミルトン形式というのは、解析力学のハミルトン形式の事ですか?それはもちろんその通りです。どういう文脈でハミルトン形式が持ち出されているのか良く読み取れませんが。
2005/09/01(木) 20:12:09 |bluesy-k|URL | #-[ 編集]
>文脈
物理系が満たす対称性に関連してです。
ハミルトニアンが持つ対称性にpだけを増やす変換を考えてもいいと思うのですが。
そして、それを量子論の対称性と考えるのも十分にありだと思うのですが。

あと、xと同等の議論で出てくるということは演算子xがさして面白くないようにTも面白くないということじゃないですか。
2005/09/01(木) 20:20:57 |bluesy-k|URL | #-[ 編集]
exp(-iXq)を対称変換は明らかにおかしいですね。すみません勘違いしてました。
2005/09/15(木) 18:33:11 |ruke|URL | #-[ 編集]
>物理系が満たす対称性に関連してです。
ハミルトニアンが持つ対称性にpだけを増やす変換を考えてもいいと思うのですが。
そして、それを量子論の対称性と考えるのも十分にありだと思うのですが。

それはもちろん十分ありだと思います。

それと、上の方のコメントで少し勘違いしてしまっていたのですが、時間発展をシュレディンガー描像で扱う場合ブースト変換は時間に依存してしまって、これはもちろん時間に依存しない物理量を表しはしないのですが、時刻t=0におけるブースト生成子は(一粒子系なら)位置の質量倍という事になるようです。

また、このような事を考える場合、時間発展も時間推進と考える方が自然なので、自ずとハイゼンベルグ描像を採用する事になりますが、その場合ブースト生成子は時刻t=0における位置演算子と関連付けられる事になるようです。

ただしこれらはいずれも非相対論的量子力学の場合で、相対論的力学ではそもそも位置演算子という概念が余り馴染まないようです。

>あと、xと同等の議論で出てくるということは演算子xがさして面白くないようにTも面白くないということじゃないですか。
そうなんですよね。時刻tは物理量じゃなくってパラメタだよ、って事をしつこく言われてきたのでこのことに思い至って少し面白く感じたのですが、時間推進に伴って定数だけ変化する物理量ってのは、要は時計の読みなわけで別に面白くも何ともない。。。
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