RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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テトラヘドロン (2005/09/16(金) 00:11:43)
nucのところで知った四面体のお話

moominの所に、とりあえず立式だけならすぐにできるって話を書き込んだのだけど、これは、三つの式が立つので三つの変数が決定できる、という当たり前の話で、だけど、二次式になってしまうので、単純な計算問題に落とせているわけではない。

特に対称性がほんの少し反映しにくく、もう少し考えていると、
高校数学の鬼子たるヘロンの公式を使うとローレンツ計量が出てきて三角不等式でエレガントにできそうな気がした(結局証明はできていない)。

アウトラインを書くとある頂点を共有する辺の長さをa,b,cとしてaとbに挟まれている辺をX,さらに順にY,Zとすると、ヘロンの公式から、(a^2,b^2,Z^2),(a^2,Y^2,c^2),(X^2,b^2,c^2),(X^2,Y^2,Z^2)が全て、-x^2-y^2-z^2+2xy+2yz+2zx=S^2上の点という事がわかる。ちょっと図を書いてみるとX=a,Y=b,Z=cでもない限りこんな事はありえそうにない事が分かって、この曲面の凸性を使うか計量((-1,1,1)(1,-1,1)(1,1,-1))の下での三角不等式をにゃんにゃんするかすればどうにかなりそうな気がする。

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