RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
201705 << 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 >> 201707
スポンサーサイト (--/--/--(--) --:--:--)
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
テトラヘドロン (2005/09/24(土) 04:29:18)
四面体の問題
三次元で重心と内心と外心が一致するって事を示して、その後で面の合同を言うって証明を作ったんだけど、その際、さらに高次元では、外心に内心との一致を促すような条件としては、n+1個のn-1次元単体のn-1次元体積が等しいというのでは弱すぎると容易に予想ができた。そこでそこまでの考察で、外心が内心と一致しないようなケースの具体的な構成の仕方も既に見えていて、特殊で扱いやすいケースを一つ作ってみたところ、確かに反例になっていた。

というわけで、四次元の反例。
一つの辺の長さだけsqrt(2)で、他の辺の長さは全て1の4次元単体

上で書いたように発見的にこの反例に至ったわけじゃないんだけど(特に、これが命題が満たされない特殊な例外だというのではなく、実際には、ほとんどの場合命題は満たされないはずだ)、この例自体は反例だという事が直ちに納得できる綺麗なケースだと思うので興味がある人は確かめてみて欲しい。

octaveで数値計算させた後、頑張ってシンボリックな表記に直した各点の座標の例も書いておこう。単に反例を一つ得るという事だけを目標にごりごり数値的に計算しただけだったのだが、結果は結構綺麗だ。適当に回転させればもっと綺麗になるだろう。(これは一つの辺だけが長さ2で他は長さsqrt(2)である例)

(0,0,0,0)
(sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))
(1/sqrt(3),1/sqrt(3)+2/3,1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)-1/3)
(1/sqrt(3),1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)+2/3,1/sqrt(3)-1/3)
(1/sqrt(3),1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)-1/3,1/sqrt(3)+2/3)
スポンサーサイト
コメント
この記事へのコメント
コメントを投稿する

管理者にだけ表示を許可する
トラックバック
この記事のトラックバックURL
この記事へのトラックバック
(C)Copyright 2003-2007 by Ruke All rights reserved. Powered By FC2. VALID HTML? VALID CSS?
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。