RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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セキブンデケタ (2005/10/19(水) 19:50:49)
sin^2(kx/2)/x^2の-inf to +infの積分は、結局、Mathematicaに不定積分させた結果を眺めていたら、部分積分するとsin(kx)/xの積分に帰着することがわかった。これは、主値積分の意味でexp(ikx)/xの-inf to +infの積分を計算するとその虚部によって与えられる事から留数定理を用いた計算ができる、と複素解析の本に書いてあって計算ができた。

ところが、このsin(kx)/xは、確か、exp(ikx)のk=-l to lの積分、つまりデルタ関数を与える積分を適当に打ち切って広がりを持たせた関数だ。こいつの積分もkによらないというのは知らなかったが、このexp(ikx)の積分に戻ればもう少し簡単に示せそうな気がした。厳密性には欠けるだろうが、つまり、
int_-l^lexp(ikx)dk=sin(kx)/x
をxについて-inf to +infで積分すると、右辺はint_-l^l 2pi delta(k) dkになって、これは2piだ。

というわけでちゃんとした証明と、ラフな証明のどちらもできた。そうか、2sin(kl)/kは2pi delta(x)に行くし、4sin^2(kx/2)/x^2は2pi k delta(x)に行くわけだけど、これらの面積は、kのlimを取る事なしに、正のkに対して常に、2piや2pi kなのか。これは知らなかった。。。
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