RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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シンドースルセツドー (2005/10/22(土) 06:11:17)
周期的な摂動を受けた場合の遷移に関して、連続な固有状態への遷移確率を直接計算する方法周期的な摂動を受けた場合の遷移に関して、連続な固有状態への遷移確率を直接計算する方法。 演習の発表で採用したら受け入れられなかったので、詳しく書いた物。今のところ演習の問題を参照する事が前提で、具体的な問題設定を書いていないが、連続スペクトルの離散化に関する最大限ラフな議論については見ておく価値があると思う。

物理学科生の、特に今日同じ演習のクラスにいた人で興味を持ってくれた人へ。僕らが評価の高いが細かい誤りがたくさんある本を読む場合と違って、特に信頼性のない人間が、受け入れられ難い主張をしている場合、瑣末な計算間違いすらも説得力を致命的に損なうという事になることは理解しているつもりです。ですから、理解するよう努力して読んでくれ、とは言いませんが、もし端から間違っているだろうと決め付けずに、好意的に目を通してくれるのならば、瑣末な計算間違いから細かい記号の使い方や添え字の使い方の不統一に至るまで、気づいた事はどんな細かい事でも指摘してもらえると助かります。ここのコメント欄でも、s51562 at ecc.u-tokyo.ac.jpへのメールでも構いません。

そうそう、喋った事と、この文書は、大体、

の朝永先生の本で、p.113-119にある議論の、端折られている所は詰めてクドイ所は簡潔に(例えばピークの面積を三角形で評価する方法など)した構成になっています。これはswitch on について扱っている部分で、周期的な摂動についてはこの直後に書いてあって、こちらにも、ただ一つの準位が励起される場合にもt^2ではなくてtに比例する遷移率が観測される事など見るべき点が多いです。

なお、この本では、連続固有値の領域への遷移に関して、固有状態の規格化をデルタ関数によってとった時に、状態数ローにあたる因子が出てこない公式が得られるという僕の文書で2.において提示している事実について同じ結果が書いてある。いずれにしてもこの点について疑問の余地はない(簡単に確かめられる)と思うので、どうしても納得いかなければ、常に固有状態を規格化して用いる方針をとれば、体系の大きさV等を導入せずに連続固有値への遷移確率を直接計算するという事はやはりできる。その場合、波数に関して一様な平面波を固有状態にとった場合、そのままではエネルギーに関して規格化されていないので、規格化を施した上で計算しなければいけない事に注意。(というか、そういう計算をすれば、結局、状態数にあたる連続固有状態の場合の因子が規格化に表れる余計な因子であることは直ちに納得できると思うのだけど。。。)

なお、元の状態に居座る確率が、1から他の確率を全て引き去れば良いという、当たり前だけれど盲点なお話は(一次の摂動論で計算すると、絶対値の二乗をとる前に、遷移先についてはO(V)であるのに対し始状態については1+O(V)であるから、普通に絶対値を二乗して計算すると、始状態だけO(V)までになってしまう。)この直前にあります。(<-結果はそういう事になっているけれど、良く見たら、二次の摂動まで考慮した計算だった)
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