RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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ハイパボリック (2005/12/21(水) 22:07:18)
必要に迫られてソーキョクセンカンスーのカホーテーリをちまちまと計算。

sinh(a+b)=sinh(a)cosh(b)+cosh(a)sinh(b)
cosh(a+b)=cosh(a)cosh(b)+sinh(a)sinh(b)

素朴にはcosh, sinhを指数関数で書いてやって、まずsinh(a)cosh(b), cosh(a)sinh(b). sinh(a)sinh(b), cosh(a)cosh(b)を全部書き出し、かぁっと目を見開くと作れる。説明の仕方は他にも色々あるだろうけれど(cosh(ia)=cos(a), sinh(ia)=isin(a)が一番綺麗かな?)

ちなみに、微分方程式の一般解で、Aexp(iwt)+Bexp(-iwt)は、Acos(wt)+Bsin(wt)と同等でさらにAsin(wt+d)とも同等というのはどんな本にも書いてあるけれど、Aexp(wt)+Bexp(-wt)の形に関してはこのままにしておくのが普通だ。もちろんこれはAcosh(wt)+Bsinh(wt)と同等であるが、cosとsinの場合のように位相が半分遅れていて直交する関数であるという意味が見出し難い等の理由からこの表示は余り行われないのであろう。

ところで、Aexp(wt)+Bexp(-wt)においてA=BやA=-Bはcosh(wt)やsinh(wt)だ。しかし一般にはAやBにこのような関係はない。すると、例えばグラフを書いてみた時、一般には色々な形がありそうに思える。ところが一方で、Acosh(wt)+Bsinh(wt)と書いてしまえば、これはAcos(wt)+Bsin(wt)と明白な類似性を持っている。すると、三角関数の合成と同じ議論によって、このような一般解のグラフの「形」は非常に限られているのではないかという予測が立つ。

実はこれは正しい。双曲線関数の場合の合成公式は三角関数の場合と全く同じに導かれる。ただし注意しなければならないのは、cosh^2-sinh^2=1であり、|cosh|>|sinh|であるという事だ。三角関数の場合、sinとcosのどちらにまとめるかは自由であった。sinにまとめられる事が多いような感覚はあるが、実際にはいずれも用いられる。しかし双曲線関数の場合、どちらにまとめるかは自動的に定まる。

Acosh(x)+Bsinh(x)の合成を考えよう。三角関数の合成の場合を思い出せば、基本的なアイデアは、これを加法定理と比べる事だ。ところが今注意した事によって、|A|>|B|の場合比べられるべきはcoshの加法定理であり|A|<|B|の場合比べられるべきはsinhの加法定理である事になる。すなわち
|A|>|B|の場合
+-sqrt(A^2-B^2)cosh(x+a)
と合成される。ここで符号はAの符号であり、aは|A|/sqrt(A^2-B^2)=cosh(a), +-B/sqrt(A^2-B^2)=sinh(a)を満たすようなaである。
|A|+-sqrt(B^2-A^2)sinh(x+a)
と合成される。ここで符号はBの符号であり、aは|B|/sqrt(B^2-A^2)=cosh(a), +-A/sqrt(B^2-A^2)=sinh(a)を満たすようなaである。

ただし例外として|A|=|B|の場合には、単一の指数関数に合成される事になる。

すなわち、Aexp(wt)+Bexp(-wt) or Acosh(wt)+Bsinh(wt)の形の全ての関数のグラフは、cosh(wt), sinh(wt), exp(wt), wxp(-wt)のいずれかを上下にスケーリングし左右に平行移動した物である(ただし指数関数の場合上下のスケーリングと左右の平行移動に違いはない)。この結果及び、双曲線関数の合成が可能であるという話は余り知られていないのではないだろうか?あまり言及されない理由、つまり大して重要でない理由はいくつか見当がつくが、個人的には素朴で面白い話であるように思える。
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