RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
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平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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ユカワポテ (2006/01/15(日) 04:20:31)
この前の演習のレポートで、湯川ポテンシャルで散乱微分断面積を第二ボルン近似まで計算しろ、というのがあって、球面波と平面波の球面調和関数展開を使って球面調和関数展開の形にして、動径方向の積分は箸にも棒にもかからずに積分を残したまま提出した。

#j_l(kr)h_l(kr)e^{-ukr}rの0から∞までの積分とj_l(kr)j_l(kr)e^{-ukr}rの0から∞までの積分の積になった。

んで、探してみたらそのままずばりの論文があった。
Phys. Rev. 82, 840–851 (1951)
On the Scattering of a Particle by a Static Potential
R. Jost and A. Pais

で、話としてもそんなに難しくはなく、空間座標でなく、波数(運動量)ので積分するとちゃんと積分が実行できるようだ。

そもそも散乱問題では、自由空間ハミルトニアンの固有状態の適当な完全系は自由空間ハミルトニアンをただの実数に化けさせるために使えるから非常に有用であるのに対し、空間座標基底を考えるメリットは実はほとんどないと言ってよいだろう。唯一の利点は相互作用がポテンシャルV(x)で書ける場合に、それを対角にする基底だという事だけだ。いやもちろん使うと便利な事もそりゃあるだろうが、問題は、波動力学のノリでずっと押し通すような教科書なり学校の講義に沿っていると、どうしても、過剰に空間座標基底に縛られてしまうという事だ。ボルン近似の場合、第一ボルン近似でどのみち自由粒子状態に関する行列要素を計算するので、その結果が簡単な形になるのならば、空間座標に固執する必要など全くなかったということになるか。

この論文、ひたすら算数をしているだけの論文なので、それなりに読む事ができたのだが、やっぱり積分の計算は鬼門だ、、。Mathematicaに助けてもらいながら途中まではどうにかフォローできたけど、最後のuの積分のところで行き詰まってしまった。でしかも、本文中に引用している積分の結果と、appendixでその計算の過程を示した上でかかれている結果が、異なっているんだよなあ。

積分は必ず積分できる「形」を系統的に整理する機会がなかなか持てないから、標準的な「過程を端折ってよい積分」とのギャップが中々埋められない。

でもまあこの論文の内容を見る限り、複素解析を真面目に勉強してさえいればそんなに難しくないって事みたいだ。

で、いくつかメモ
・第二ボルン近似で散乱振幅をO(V^2)で計算した場合、微分断面積は(O(1)はないので)O(V^3)まで計算できる事になるがO(V^4)まで計算しても意味がない。
・1/abc=∫_(x,y,z>=0)dxdydz 2δ(x+y+z-1)/(ax+by+cz)^3

後者の公式は、なんかファインマンの量子電磁気学の論文を参照していてびびったのだが、全く初等的な範疇で証明できる。できるんだけど、、、なんじゃこりゃ。すげー。
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