RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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デルタ関数 (2006/08/14(月) 21:41:37)
lim_A->∞ ∫_[-a,a]f(x)sin(Ax)/x dx=πf(0)
をできる限り直接確かめようとしたのだがけっこう面倒。

やった事のまとめ。
lim_A->∞ ∫_[-a,a]f(x)sin(Ax)/x dx=πf(0)
をできる限り直接確かめようとしたのだがけっこう面倒。

やった事のまとめ。

まず
|∫_[a,b]sinAx/x dx|
=|[sin^2(Ax/2)/(Ax/2)]^b_a+∫_[a,b]sin^2(Ax/2)/(Ax/2)^2 A/2dx|
≦|[sin^2(Ax/2)/(Ax/2)]^b_a|+|[-1/x]^(Ab/2)_(Aa/2)|
≦1/A4/a

よって
∫_[a,b]sinAx/x dx->0
特に
∫_[a,∞]sinAx/x dx->0

これを使うと可積分∫_[-a,a]|f(x)|dx>∞に対して∫_[0<a,b]f(x)sin(Ax)/x dx->0は割と簡単にできた。∫_[a,b]|f(x)-f(e,x)|dx<eなる[a,b]上連続(従って一様連続)関数f(e,x)を持ってきてδに対しD_1=[a_0=a,a_1],,,D_N=[a_(N-1),a_N=b]の各々の上でf(e,x)の最大値と最小値の差が高々δであるようにできる。それで、
∫_[0<a,b]f(x)sin(Ax)/x dx
=∫(f(x)-f(e,x))sinAx/x dx
+Σ_i ∫_D_i(f(e,x)-max(f(e,x);D_i)) sinAx/x dx
+Σ_i max(f(e,x);D_i)∫_D_i sinAx/x dx
≦e/a+δ(b-a)/a+1/AΣ_imax(f(e,x);D_i)(3/a_(i-1)+1/a_i)
->e/a+δ(b-a)/a
これが任意のe,δについて成り立つ。小さい方の評価も同様に出来る。よって、極限は0。

んで問題は[-a,a]での積分だけど次の事実を使うと滑らかな関数に対してはすぐに示す事ができる。

f(x):[-a,a<1]の上の滑らかな関数ならば
|f(x)|≦Nx^b 0<b≦1
なるb,Nがある。

これを使って任意のa'<aに対して
|∫_[0,a'<a<1]f(x)sinAx/x dx|<Nb a'^b
よって
|∫_[0,a<1]f(x)sinAx/x|<Nb a'^b+|∫_[a',a]f(x)sinAx/x dx|
右辺はA->∞でNb a'^bに収束する。それが任意のa'について成り立つから
|∫_[0,a'<a<1]f(x)sinAx/x dx|=0

んで、f(0)が必ずしも0でない滑らかな関数に対しては結局
∫_[-a,a]f(x)sinAx/x=f(0)∫_[-a,a]sinAx/x dx+∫_[-a,a](f(x)-f(0))sinAx/x dx
A->∞で第二項は0、第一項はπf(0)に行く。


何でこんなことをやっているのかというと、手許にある本で複素積分を使っていてむかついたから(笑)。singularityを正則関数の極で扱うのって何だか騙された気になります。(まあ上の方でsinx/xの実軸上の積分がpiになる事はアールフォルスから複素積分による方法を参照したんだけど)

それで、とにかく、極限、収束は平均収束で扱うという事とルベーグ積分と言えども無限遠については広義積分で扱う必要がある(全実数の上ではL2に含まれてもL1に含まれるとは言えない)の二点に注意を払いさえすれば素朴に必要な事が全て議論できるのではないかと思ったわけです。

んで、本当は稠密な点で定義->拡大っていう数学者好みの方法も何だか嫌なので直接一般の二乗可積分な関数(広義積分の必要性は不可避だから適当な閉区間[-a,a]の上のL2空間で良い)を扱いたかったんだけどどうやら手に余る。つまり
lim A->∞ ∫_[-a,a]dy
|f(y)-1/2pi∫_[-A,A]dt exp(iyt)∫_[-a,a]dxf(x)exp(-ixt)|^2
=lim A->∞∫_[-a,a]dy
|f(y)-∫_[-a,a]dx f(x)sinA(y-x)/pi(y-x)|^2
が0である事を示したいのだが、にっちもさっちもいかない。

まあ折角なので滑らかな関数で近似する方法で後をやってみる。

まずシュワルツの不等式より
∫_[-a,a]dx |f|dx≦sqrt(2a)sqrt(∫_[-a,a]dx |f|^2)
である。

[-a,a]上二乗可積分な関数f(x)に対し
∫_[-a,a]dx |f(x)-f(e,x)|^2 < e
を満たす滑らかな関数列f(e,x)を持ってくる。そしてフーリエ変換

F(t)=1/2pi∫_[-a,a]f(x)exp(-ixt)dx
F(e,t)=1/2pi∫_[-a,a]f(e,x)exp(-ixt)dx
を定義する。すると

|F(e,t)-F(t)|
≦1/2pi∫_[-a,a]dx |f(x)-f(e,x)|
≦定数sqrt(∫_[-a,a]dx|f(e,x)-f(x)|^2)

であるから、F(e,t)はR上でF(t)へ一様に各点で収束する。

するとフーリエ変換は閉区間[-a,a]上の滑らかな関数のノルムを保存する事を以下で確かめられる。

||F(e,t)||^2=lim A->∞ ∫_[-A,A]dt |F(e,t)|^2
= lim A->∞ 1/2pi∫_[-a,a]∫_[-a,a]dxdy f^*(e,x)f(e,y)sinA(y-x)/pi(y-x)
= 1/2pi∫_[-a,a]dx |f(e,x)|^2
= 1/2pi||f(e,x)||^2

よってF(e,t)はR上二乗可積分である。

さらに
任意のdに対しeがあって
|∫_[-A,A]dt |F(t)|^2-∫_[-A,A]dt |F(e,t)|^2|<d
とできる。
∫_[-A,A]dt |F(t)|^2
≦d+∫_[-A,A]dt |F(e,t)|^2
≦d+∫_[-∞,∞]dt |F(e,t)|^2
=d+1/2pi||f(e,x)||^2
e,dを0に持って行けば
∫_[-A,A]dt |F(t)|^2≦1/2pi||f(x)||^2
これでF(t)が二乗可積分と分かる。
--------------間違い-----------------------
また
∫_[-A,A]dt |F(t)|^2
≧ -d-∫_[-∞,-A][A,∞]dt|F(e,t)|^2+1/2pi||f(e,x)||^2
=-d-∫_[-∞,-A][A,∞]dt|F(e,t)|^2+1/2pi||f(e,x)||^2
d,eを0に持って行けば
∫_[-A,A]dt |F(t)|^2≧-∫_[-∞,-A][A,∞]dt|F(t)|^2+1/2pi||f(x)||^2
を得る。以上二つの結果でAを∞に持っていけば
||F(t)||^2=∫_[-∞,∞]dt |F(t)|^2=1/2pi||f(x)||^2
--------------------ここまで-----------------------
--------------------訂正--------------------------
||F(e,t)||->||F(t)||を示すために背理法を用いてF(e,t)がノルムの下でのコーシー列である事との矛盾を導く。なお、F(e,t)がコーシー列である事は、F(e,t)-F(e',t)がf(e,x)-f(e',x)のフーリエ変換であって、||F(e,t)-F(e',t)||=1/2pi||f(e,t)-f(e',t)||である事からただちにわかる。閉区間上では一様収束から直ちに任意のp乗ノルムについての収束が言えるからである。

あるEがあって任意のdに対し
|F(e,t)-F|E
なるF(e,t)が存在すると仮定する。すると
∫_{t| |F(e,t)-F(t)|>d'} ||F(e,t)-F(t)|-d'|^2dt>E/2
なるd'>0が存在する。すると
|F(e',t)-F(t)|なる任意のF(e',t)に対して
||F(e',t)-F(e,t)||>E/2
すなわち任意のdに対し|F(e,t)-F(t)|E/2なる物が存在する事になる。これはF(e,t)がeについての、従ってdについてのコーシー列である事に反する。

よってF(e,t)はF(t)に一様に各点収束するのみならず平均収束する事が分かった。さらにシュワルツの不等式より
||F(t)||≦||F(e,t)||^2+||F(t)-F(e,t)||^2+2||F(t)||||F(e,t)||
||F(t)||≧||F(e,t)||^2+||F(t)-F(e,t)||^2-2||F(t)||||F(e,t)||
右辺はいずれもe->0で1/2pi||f(t)||^2に収束する。
---------------------ここまで---------------------
すなわち、閉区間上の二乗可積分関数に対するフーリエ変換の結果はR上二乗可積分関数となり、ノルムは保存される。

この事から、R上二乗可積分な関数f(x)のフーリエ変換を積分を広義積分に置き換えて定義すると、それはコーシー列を成して収束する事が分かる。すなわち、
F_a(t)=1/2pi a-> ∫_[-a,a]dx f(x)exp(-ixt)
と置くと、
||F_a(t)-F_b(t)||^2
=1/2pi∫_[-b,-a][a,b] dx |f(x)|^2
≦1/2pi∫_[-∞,-a][a,∞] dx |f(x)|^2(a->∞で0に収束).

よって、R上二乗可積分な関数f(x)に対して
F(t)=1/2pi l.i.m.A->∞ ∫_[-∞,∞]dx f(x)exp(-ixt)
によってフーリエ変換を定義できる。この時やはりノルムは保存される。

逆変換については、有界閉区間上の滑らかな関数f(t)のフーリエ変換F(t)に対してちょうど以下が逆変換を与える。

1/2pi lim A->∞ ∫_[-A,A]dt exp(iyt)F(t)
=1/2pi lim A->∞ ∫_[-A,A]dt ∫_[-a,a]dx f(x)exp(i(y-x)t)
=lim A->∞ ∫_[-a,a]dx f(x)sinA(y-x)/pi(y-x)
=f(y) (-a≦y≦a), 0 (othwerwise)

線形性とノルムの保存によりF(t)に対しても同じ式がlimをl.i.m.で置き換えれば成り立つ。
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コメント
この記事へのコメント
2007/10/22(月) 21:43:04 |Nameless|URL | #-[ 編集]
たしかにそうですね
デルタ関数を使うとすぐできそうだ
δ(x)=limA->+∞(sinAx/pi*x)

だからlim_A->∞ ∫_[-A,A]f(x)sin(Ax)/x dx=pi∫_[-A,A]f(x)δ(x)dx=pi*f(0)

ちなみに、lim_A->∞ ∫_[-A,A][f(x)sin^2(Ax)/x^2]dxはどう?
そらからlim_A->0 ∫_[-∞,∞]{iexp(-ixt)/[2pi(x^2-x0^2+iA]}dx
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