RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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メンセキ (2007/01/21(日) 16:28:25)
面積を定義するのに計量って必要なのね。(n-1)-formを適当に指定すれば良いのだと思ってた。。。dx∧dy+dy∧dz+dz∧dxを積分しても円柱の側面積すら正しく計算できないものだから超焦った。

三次元ユークリッド空間ならS^2=g(w(V,W),w(V,W)) = (VxWy-VyWx)^2 + (VyWz-VzWy)^2 + (VzWx-VxWz)^2。ただし、V,Wは接空間の元(ベクトル), wは(計量)体積要素dx∧dy∧dz, gは1-form同士の内積を与える計量g(a_idx^i, b_idx^i)=a_ib_jδ^ij。ちゃんとベクトル積とって自身との内積をとるって計算になる。またこのルートをとって適当に符号を調節しても2-formと見なせないのは明らかだろう。つまり線形性すら満たされない。

(n-k)-formってのはあくまでn-次元体積を与えるn-formのベクトルをk個代入済みの姿なわけだ。素朴に一般的なn次元体積という物を考えた時どんな物もn-formで表されると考える立派な理由(線形性と反対称性)がある。でもn-k次元体積についてはそうではない。しかしn-k次元部分多様体を考えた時、その上でのn-k次元体積を表す(n-k)-formは必ず元の多様体上のある(n-k)-formのその部分多様体への制限として得る事ができる。だからn次元多様体上の(n-k)-formは(n-k)次元体積を意味しないわけではない。しかしn次元多様体上のn-k次元体積という物を考えた時それが(指定されるn-k個のベクトルに関して)線形性を持つと考える事すら正当化されない。

つまり、上でdx∧dy+dy∧dz+dz∧dxを積分しているのは、(1,1,1)を面積積分するという超あほな事をしているわけだ。そりゃあ0になるわな。
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