RukeとLuNaYuの日記
I know the truth.
I know whole.
And I...know you.
平凡な大学生活の日記です。時折まじめな長文を書く病気になります。興味がなければ読み飛ばしてください。
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メモ (2005/06/05(日) 16:10:55)
メモ
定常状態の摂動(H=H0+eV)問題で、縮退がない場合の流れは大体
・H0の固有状態を|psi_i^0>とおく。
・|psi_i>=|psi_i^0>+e|psi_i^1>+e^2|psi_i^2>+...
 E_i=E_i^0+e E_i^1+e^2 E_i^2+...
とおく
・固有方程式の0次は自動的に満たされる
・固有方程式の1次の項を見る。|psi_i^1>=Σ c_ij^1 |psi_j^0>とおき、係数とE_i^1を決定する。

で、この時c_ii^1は決定されないんだけど、それは当然で|psi_i(e)>がe->0で|psi_i^0>に行くH(e)の固有状態ならば、e->0でf(e)->1なるfを考えてf(e)|psi_i>もまたe->0で|psi_i^0>に行くH(e)の固有状態だから、一次まで評価すれば|psi_i^0>はe f'(0) |psi_i^0>の不定性がある事がわかる。

規格化を要求するならば、e->0で0に行く関数gを使ってf(e)=exp(ig(e))と書けるようにすべきで、この場合不定性はf'(0)は純虚数でなければいけない。しかしいずれにせよ、c_ii^1は0とおいてしまってよいことがわかる(ただの掛け算が足し算として出てきてしまって見難いのは冪乗展開の嫌な所だ。)。

で、引っかかったのが縮退がある場合。簡単のため|phi_1>,|phi_2>が同じ固有エネルギーeで、|phi_3>がE_3^0だとしよう。すると、|psi_1>->a|phi_1>+b|phi_2>,|psi_2>->c|phi_1>+d|phi_2>と仮において一次の摂動に進む事になる。それぞれ|psi_1^0>,|psi_2^0>とおこう。


この時、|psi_1^1>=c_11^1|phi_1>+c_12^1|phi_2>+c_13^1|phi_3>とおいて、係数を決定する事になる。得られる式は
a<phi_1|V|phi_1>+b<phi_1|V|phi_2>-aE_1^1=0
a<phi_2|V|phi_1>+b<phi_2|V|phi_2>-bE_1^1=0
(e-E_3^0)c_13^1+<phi_3^0|V|psi_1^0>=0
こうなる。

始めの二式は固有方程式の形になっているから、非自明解の満たす条件からa,b,E_1^1が決定できる。こうして|psi_1^0>が決定されれば第三式からc_13^1が決定できる。で、問題はここでもc_11^1,c_12^1が決定されない事。しかし、先ほどと同じように考えれば、|psi_1>の不定性は任意のeに依存する複素数倍であるから、一次までとればその不定性はe C|psi_1^0>である。ここでCは任意の複素数。ただし正規化を考えるならば純虚数。

というわけで、c_11^1,c_12^1は、今度は自由に決めてしまって良いわけではない。そしてこうなると、必ずしも0と置いてよいとはかぎらなくなる。つまり、c_11^1|phi_1^0>+c_12^1|phi_2^0>が、もしC|psi_1^0>+|psi_1^0'>という形になっている可能性があるからだ。

朝永先生の本ではこの部分を「完全には決められない」と端折っているし、インターネットで調べると0と置いてよいと断言してあるページ(http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/perturb2.html ただし、ここでは全ての準位が縮退している場合を扱っているので間違っているわけではない)があったりしてだいぶ混乱したけれど、とにかくそういう事だ。

これらの係数に対する条件を求めるには、``0次の摂動''を求めるのに1次の摂動を議論しなければいけなかったように、2次の摂動まで見る必要がある。今、1次の摂動で縮退がとけた場合を考えているのだから、|psi_1^0>,|psi_2^0>,|phi_3>を基底にとるのが自然だ。そこで|psi_1^0>,|psi_2^0>の名前を|phi_1>,|phi_2>と書き換えよう。この時1次の摂動における
a<phi_1|V|phi_1>+b<phi_1|V|phi_2>-aE_1^1=0
a<phi_2|V|phi_1>+b<phi_2|V|phi_2>-bE_1^1=0
という二つの式は
<phi_1|V|phi_1>=E_1^1
<phi_2|V|phi_1>=0
となり、さらに|psi_2^1>に関する議論から
<phi_2|V|phi_2>=E_2^1
を得る。

さて二次の摂動の計算を通常の手順に従って進めると
<phi_1|V-E_1^1(c_11^1|phi_1>+c_12^1|phi_2>+c_13^1|phi_3>)-E_1^2=0
<phi_2|V-E_1^1(c_11^1|phi_1>+c_12^1|phi_2>+c_13^1|phi_3>)=0
c_13^2 (E_3^0-e)+<phi_3^0|V|phi_1^1>-c_13^1<phi_3^0|E_1^1|phi_3^0>=0
を得る。この始めの二式で、具体的に内積をとれば
c_13^1<phi_1|V|phi_3>=E_1^2
c_12^1(E_2^1-E_1^1)+c_13^1<phi_2|V|phi_3>=0
を得る。これから、c_12は決定され、c_11は未だ定まらない。しかしながら我々は既に|psi_1>の不定性はe->0とともに1となるような定数倍に由来し、1次まで見ればe C |psi_1^0>の形である事を知っているから、これでよい。

注意しなければならないのは、1<phi_2|V|phi_3>が0で無い場合にはc_12^1は0とはならない。従って、縮退がある場合、1次の摂動で決まらなかったパラメタについて勝手に0とおいてはいけない事がわかる。縮退がある場合、1次までしか必要なくても2次まで見る必要がある。

って本当なのかな~?
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